Las matemáticas sostienen a las ciencias. Bajando a las profundidades de los anfiteatros y las morgues donde los médicos dan la cara ante la futilidad de nuestras carnes, es necesario profundizar para encontrar un componente principal de la corteza frontal detrás de las ciencias médicas: los modelos matemáticos. Están en los libros de fisiología, describiendo mediante fórmulas el paso de la sangre por cada vaso y el tiempo que le lleva hacerlo, la velocidad a la que los riñones se deshacen del material sobrante o incluso la cantidad de energía necesaria para despolarizar una membrana, llevar de la mano esta señal hasta el cerebro y que dé la orden de cambiar aquel foco del baño que ya no sirve.¹ Está también en los cuestionarios y clasificaciones que publican las asociaciones médicas de vanguardia médica en el mundo médico, sencillos para aplicar pero que encierran en el pasado una labor ardua y desgastante de cálculos y más cálculos. Detrás de las dosis que nos piden memorizar, en las guías que debemos seguir y por supuesto que en los avances de la biología celular y molecular que sustentan cada hallazgo impresionante, digno de Lancet o el Niu Inglan*, está uno o más —generalmente más— matemáticos lidiando con las limitaciones de representar un entorno absolutamente caótico con letras y números.

Dentro de un espacio cerrado, en plena contingencia sanitaria en proceso de fusión con el modo de vida previo, la importancia es aún más evidente. Las decisiones sobre el SARS-CoV-2, el esquivo y siempre cambiante coronavirus, están basadas en su infectividad, su virulencia, su modo de transmisión o incluso la manera en la que la gente vive su vida en el momento en que este virus se lanza contra sus mascarillas.

Todas estas características únicas se toman en cuenta para generar modelos. Podemos entenderlos como una representación conceptual del comportamiento de un objeto o un sistema de objeto². En otras palabras, es utilizar las matemáticas para explicar nuestro mundo de una manera más detallada y precisa, tal y como una maqueta de volcán que erupciona con el inmenso poder del vinagre y el bicarbonato de sodio no es un volcán realmente, pero lo representa usando cartón, pegamento y plastilina.

Los modelos matemáticos no se limitan a explicar. Su estructura, basada en variables y constantes, puede adaptarse para intentar predecir el comportamiento de fenómenos tan generales como la economía global, las interacciones entre las especies que viven en el Amazonas o, por supuesto, las epidemias y pandemias. La extensión del modelo depende de la complejidad del fenómeno. Mientras más complejo sea el fenómeno, más complejo será el modelo.

Los microorganismos, diseminados hasta el pliegue más bochornoso de la corteza terrestre, son sujetos fantásticos para este tipo de intervenciones: de todos tipos, tamaños y formas, incontables y omnipresentes. Parásitos, hongos, virus, bacterias e incluso los intrigantes priones, convivimos con ellos. Son inevitables,³ dijo alguna vez un visionario ser morado. Las especies de microorganismos capaces de hacernos daño reciben el cariñoso apodo de patógenos. A veces les da por infectar personas y, más de vez en cuando, por poner en riesgo la estabilidad del sistema socioeconómico mundial. Alguien tuvo, en algún momento, la idea de invertir energía para evitarlo, puesto que sucumbir ante una pandemia podría ser una mala jugada.

Para enfrentar la amenaza fantasma, los epidemiólogos usan modelos matemáticos. Existen bacterias que infectan rápido y se van rápido; existen las que tardan en aparecer y se mantienen latentes; otras tardan, pero se quedan toda la vida. Una vez que el microorganismo y la enfermedad que causan han sido estudiados a profundidad, nuevos modelos matemáticos dictarán la pauta para tratarlos, ya sea por aislamiento, por medio de vacunas y fármacos, o matando al perro y acabando la rabia –la última sin contar a los humanos, esa es una mala jugada–.

Es imposible predecir con una precisión del 100% los siguientes movimientos de infecciones como la causante del COVID-19. Los modelos matemáticos son imperfectos y, conceptualmente, lo serán siempre. Las variables, esos datos a tomar en cuenta, son incontables. Parte de la chamba es discernir cuáles son las más relevantes para que el modelo posea las tres cualidades trascendentales: un modelo matemático debe describir el fenómeno de manera detallada y exhaustiva, debe ser claro y sencillo de entender y debe ser suficientemente flexible como para ser adaptado a distintas situaciones. Precisión, transparencia y flexibilidad. De acuerdo a la situación, será el modelo. No obstante, como en la escuela, eso lo vemos mañana.

Si eres un epidemiólogo listo para enfrentarse a una pandemia, los modelos serán tus mejores aliados. Sería excelente que los conocieras bien. Si lo que te pidió tu directora es enseñar a las futuras generaciones cómo se comportaba un coronavirus, puedes llamar a un amigo matemático y pagarle lo necesario para obtener un modelo un tanto más sencillo, o puedes usar este trampolín hacia tierras inexploradas y comenzar a aprender. Esto no es más que un pequeño impulso.

Nuestra memoria es limitada. Nuestra capacidad de procesamiento es limitada. Ante estas limitaciones, los modelos matemáticos son herramientas ideales para progresar nuestra comprensión de un mundo complejo, un cosmos sublime y efímero.

Si deseas aprender más sobre los modelos matemáticos, lee nuestro siguiente post:

Modelos: reduciendo la brecha entre la medicina y las matemáticas

Las matemáticas sostienen a las ciencias. Bajando a las profundidades de los anfiteatros y las morgues donde los médicos dan la cara ante la futilidad de nuestras carnes, es necesario profundizar para encontrar un componente principal de la corteza frontal detrás de las ciencias médicas: los modelos matemáticos. Están en los libros de fisiología, describiendo…

por Ricardo Gonzalez 16 de diciembre, 2021

Un modelo que SIRve

Está claro que Arenita conoce de epidemiología. En el capítulo 31B de la segunda temporada de la célebre serie animada Bob Esponja, esta ardilla científica texana es víctima de las bromas de toda la ciudad después de una noche de comedia en la que el protagonista la usó como material para sus chistes. No pasaron…

por Ricardo Gonzalez 16 de diciembre, 20215 de enero, 2022

1. Boron WF, Boulpaep EL. Fisiología médica. 3ra ed. Philadelphia, PA: Elsevier – Health Sciences Division; 2016.
2. Keeling MJ, Rohani P. Modeling infectious diseases in humans and animals. Princeton: Princeton University Press; 2008.
3. Russo A, Russo J. Avengers: Endgame. Walt Disney Studios Motion Pictures; 2019.

Autores: Daniel A. Murillo, Ricardo González y Gener Aviles-R

Está claro que Arenita conoce de epidemiología. En el capítulo 31B de la segunda temporada de la célebre serie animada Bob Esponja, esta ardilla científica texana es víctima de las bromas de toda la ciudad después de una noche de comedia en la que el protagonista la usó como material para sus chistes. No pasaron ni dos días para que todos en Fondo de Bikini los conocieran. Mientras hacía sus compras, Arenita fue capaz de procesar la información y describirla con esa frase contundente:

“La estupidez no es un virus, pero se está propagando como uno…”

Fig 1. Arenita recibe burlas en el supermercado, Bob Esponja (2000)

Para nuestra desgracia, no somos Arenita. Entender cómo es que una infección se propaga entre la gente es un poco más complicado. Necesitamos la ayuda, una vez más, de los modelos matemáticos. Uno de ellos es particularmente útil por ser bueno, bonito, barato y bastante sencillo de entender: el modelo SIR.

El modelo SIR fue desarrollado por un par de científicos llamados W. O. Kermack y G. A. McKendrick en el remoto 1927.¹ Es un modelo matemático sencillo y fácil de entender (relativamente). Cada una de las tres letras de esta sigla representa un grupo de personas:

• La S significa susceptible. Son todas las personas candidatas a infectarse.
• La I es de los infectados. Son las personas que ganaron la candidatura.
• La R es para los recuperados. Son las personas que ya pasaron por lo peor.

Una vez que tenemos nuestras categorías, necesitamos saber cómo se relacionan entre sí. Se utilizan dos parámetros:

• β es la tasa de infección o qué tantas personas se van a infectar después de interactuar con un infectado. 
• γ es la tasa de recuperación o qué tantas personas se van a curar después de infectarse en un tiempo dado.

Toda esta información queda empaquetada en un amigable sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

De manera formal, un sistema de ecuaciones diferenciales explica una situación del mundo real a lo largo del tiempo. Pero tranquilos, no es necesario alarmarse, gracias a la computación y sus avances podemos visualizar rápidamente al modelo SIR. Utilizando Python y algunas de sus paqueterías vamos a demostrarlo; primero, vamos a importar las funciones que vamos a necesitar:

import numpy as np #para crear objetos auxiliares
from scipy.integrate import odeint #para resolver las ecuaciones
import matplotlib.pyplot as plt #visualización

La primera función define los objetos auxiliares (np) , la segunda nos ayuda a resolver el sistema de ecuaciones (odeint) y la tercera (plt) a visualizar el modelo; segundo, definimos dentro de una función el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO):

def SIR(y, t, N, beta, gamma):
    S, I, R = y
    dS_dt = (-beta * S * I) / N
    dI_dt = (beta * S * I) / (N - gamma * I)
    dR_dt = gamma * I
    return dS_dt, dI_dt, dR_dt

Es importante establecer las condiciones iniciales:

beta = 2.0 #la tasa de infección
gamma = 0.8 # la tasa de recuperación
N = 1000 # la cantidad de personas
t = 50 # la cantidad de días
t = np.linspace(0,t-1,t) # objeto creado para definir del día 1 al t
S0, I0, R0 = N-1, 1, 0 # condiciones iniciales

Resolvemos el sistema de EDO, para más detalles visita la documentación de la función odeint:

y0 = S0, I0, R0 # agrupamos las condiciones iniciales
ret = odeint(SIR, y0, t, args=(N, beta, gamma)) # resolvemos el sistema de EDO
S, I, R = ret.T # los rearreglamos

Ahora visualizamos:

plt.plot(t, S, c='b',  label='Susceptibles')
plt.plot(t, I, c='r',  label='Infectados')
plt.plot(t, R, c='g',  label='Recuperados')
plt.xlabel("Días")
plt.ylabel("No. Personas")
plt.legend() 

El número de personas vulnerables a la infección disminuirá con el tiempo (línea azul), el número de infectados aumentará hasta llegar a un tope (el pico de la curva, línea roja) para posteriormente disminuir también y el número de recuperados seguirá subiendo hasta que la infección desaparezca (línea verde). 

Como todos los modelos, este asume un par de cosas: las personas infectadas lo son desde el primer día y todos los recuperados generan inmunidad. Sabemos que esto no describe a la perfección los modos de cada agente infeccioso, pero nos da una descripción general, muy útil para comenzar a adentrarse en la epidemiología, puesto que la mayoría de las infecciones se comportan más o menos así.

Sea la estupidez, los chistes de ardilla o las infecciones virales, el modelo SIR nos sirve para entender qué tan rápido se va a propagar entre los individuos y qué tan rápido nos vamos a recuperar.

1. Kermack WO, McKendrick AG. A contribution to the mathematical theory of epidemics. Proceedings of the Royal Society of London A.1927

Autores: Daniel A. Murillo, Ricardo González y Gener Aviles-R